ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút )
---------------------------
Câu 1. a)Cho
là phân số tối giản . Chứng minh rằng
cũng là phân số tối giản.
b) Cho a;b;c là các số nguyên thỏa mãn: a2(b-c) + b2 (c-a) + c2(a-b) = a+b+c. Chứng minh rằng a+b+c
27
Câu 2. a) Cho hệ phương trình
( với a,b nguyên dương và khác nhau)
Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y là các số nguyên dương.
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5

Câu 3.Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c
3 . Chứng minh rằng:

Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD (
A =
D = 900) và DC = 2 AB
Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và M là trung điểm của đoạn HC
Chứng minh rằng BM
MD
Câu 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M thuộc cung nhỏ
, gọi I;K;H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB; AC; BC
Chứng minh

Giả sử
ABC đều , xác định vị trí của M trên cung
để MA + MB + MC = Max (đạt giá trị lớn nhất)
Câu 6.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số nguyên :


-------------------------------


HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN

Câu 1. ( 4 điểm)
( 2 đ) Vì
là phân số tối giản nên (a;b) = 1
Giả sử a2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó vì a2
d và d là số nguyên tố nên a
d
Từ a
d và a+b
d => b
d như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giẻ thiết (a;b)=1 vậy (a2; a+b)=1 hay
là phân số tối giản
b) (2đ) a2(b-c)+ b2(c-a) + c2(a-b) = a+b+c.<=> (a-b)(b-c)(a-c)= a+b+c (1)
gọi r1, r2, r3 lần lượt là các số dư khi chia a; b; c cho 3
Trường hợp 1: Nếu các số dư khác nhau (0;1;2) thì r1+ r2+ r3 = 3 => a+b+c
3
Nhưng các hiệu a-b;b-c;a-c đều không chia hết cho 3 nên đẳng thức 1 không xẩy ra điều này trái với giả thiết.
Trường hợp 2: Nếu có 2 số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3 nhưng tích (a-b)(b-c)(c-a)
3 điều này vô lý.
Trường hợp 3: Cả 3 số dư bằng nhau
Khi đó (a-b); (b-c); (a-c) đều chia hết cho 3 => (a-b)(b-c)(a-c)
3.3.3
Vậy từ (1) => a+b+c
27

Câu 2: (4điểm)
a)(2đ)
=> ax+by=bx+ay <=>(a-b)(x-y) = 0
vì a
b => x-y =0 => x=y
Từ x=y ta có ax+by=5 <=> x(a+b)=5 vậy để phương trình có nghiệm nguyên dương thì a+b>0 và là ước của 5
Do a,b
N * và a
b nên ta có :
a=1 và b = 4 => x = y = 1 ; a= 2 và b = 3 => x = y = 1
a= 3 và b = 2 => x = y = 1 ; a = 4 và b = 1 => x = y = 1
( 2 đ) Đặt a =
; b =
đ/k x
1 ; a
0 ; b >0
a2 = x + 1 ; b2 = x2-x +1 => x2+2 = a2+b2 và x3+1 = a2b2
Phương trình trở thành 2(a2+b2) = 5 ab <=> (2a – b) (a – 2b) = 0 <=> a = 2b hoặc b = 2a
Với a = 2b